Konacno sam shvatio Eulerovu formulu! Trebalo mi je dvije i po godine. Ne znam koliko je trebalo Leonardu, svajcarskom matematicaru, fizicaru, astronomu, inzinjeru…. Kazu racunao je kao sto drugi ljudi disu. Osamnaesti vijek. Dvjesto godina prije osnivanja kantne mehanike (QM).
Ipak, sve je pocelo od Jakoba Bernulija… Ili? Ne! Sve je pocelo od Najpira koji je uveo tzv. prirodni logaritam. Logaritam koji ima bazu „e“, a ne 10. „E“ je cudan broj! Nema kraja, pa je iracionalan, slicno kao Pi. E ima vrijednosti 2,718…I vazniji je od Pi! Ok, onda je Bernuli uzeo e kao bazu za slozeni kamatni racun. Slozeni kamatni racun znaci da umjesto da obracunas kamatu jednom ili dva puta godisnje (neposteno) racunas je u svakom narednom trenutku. Kontinuirano. I tako se e ucvrstilo kao broj koji oznacava kontinuirani rast. U ekonomiji, ali i u biologiji, demografiji…
Sve je ovo znao Euler. I onda mu je sinulo!
Ali vratimo se 100 godina unazad. U 17. vijek. Francuski filozof matematicar Rene Dekart je imao problem sa korijenom iz -1. Ne mozes mu nista. I onda Dekart smisli cijeli sistem novih brojeva koje nazove kompleksni i koji se sastoje od dva dijela: realni dio (npr. 6) i imaginarni (npr. i7, gdje je i korijen iz -1), pa je kompleksni broj z=6+i7. Sve je ovo smislio prije odlaska u Svedsku da bude ucitelj kraljici Kristini- u Stokholmu je umro od upale pluca. U to vrijeme je vec bio poznat tzv. jedinicni krug, sto znaci krug ucrtan u Dekartov (!) koordinacioni sistem (jos se kaze latinski, kartezijanski), sa radijusom od 1. I onda imate na y-osim sin ugla , a na x osi cos ugla. Zamislite da se tacka krece od (1;0) suprotno od kretanja kazaljke na satu po kruznici… Obim kruga? 2rπ. Pola kruga? π (jer je r=1). Kako se krece tacka po krugu kada prodje π? Radijus 1. Znaci od 1 do -1. Kako se tacka „penje“ prema vrhu (0;1) ili π/2, tako se cos po x-osi skracuje, a sin raste.
I sad ovo da spojimo.
Imaginarni, kompleksni brojevi su decenijama zbunjivali matematicare, pa su rijesili da ih nekako nacrtaju da bi mogli bolje razumjeti. I bas lijepo, posto imaju dva dijela, smjestili su ih u koordinacioni sistem. Na x osi je bio realni dio (6 iz gornjeg primjera), a na y osi, imaginarni i7. I sad ako zamislimo cetvrtinu kruznice (i x i y su pozitivni), tacka 6:i7 se nalazi na x=6 i y=7 (iako se zove i7, ali ne treba racunati 7 puta korijen iz -jedan). Sad slijedi prvi krupni zakljucak (koji je apstraktan i trazi malo intuicije…): svaka funkcija (koja moze da se predstavi graficki kao linija, hiperbola, parabola, ali i krug) koja ima komplekcni broj (ovo se kaze, prikazana u kompleksnoj ravni), vuce kao vertikali (y) zbog i dijela.
Hajmo sad opet nazad kod e…
E opisuje prirast, rast, razvoj. Matematicki, ako se iz neke velicine uzme (prvi) derivat, dobije se brzina tog rasta. Raste brzo, raste sporo… Baza e ima to svojstvo da joj derivat daje istu funkciju (e=, sto znaci kada derivirate e na neku potenciju, vi dobijete opet – e. Zasto je ovo vazno? Zato sto ako bilo koju bazu (10, npr) dignete na kvadrat ili kub li bilo koju potenciju, imate eksponncijalni („strahoviti“) rast, pa i ako je derivirate samo cete dobiti dodatnu informaciju: koliko brzo raste. Ali raste! Graficki, ode, boga pitaj gdje…
E? E ne raste! I ovo je tvrdnja broj dva! E se uvijek vraca. I zato je ova osobina e na neku potenciju, cudesna, jer se graf ne otme i ode „boga pitaj gdje“, vec se vraca….
I sad u cemu je genij L. Eulera? On je uzeo od Bernulija e kao bazu za rast kretanja po kruznici. E je bio sjajan izbor jer ostaje na krugu (graf ne bjezi). E ali nije samo to. On je napisao cuvenu formulu e^ (na) iθ (theta, ugao)= cosθ + i sin θ. U „prevodu) e na potenciju koju cine i i ugao (svaka tacka na krugu, kada se spoji sa centrom, pravi ugao sa x osom) jednako je kompleksnom broju kojem je taj ugao zajednicki i za realni i za imaginarni dio. Ricard Fejnman (najveci pedagog u fizici, mada i sjajan fizicar) je rekao da je ova formula dragulj u matematici. Zasto? Jer spaja sve vrste brojeva (realni, imaginarni, iracionalni, kompleksni…) i premostava algebru sa trigonometrijom.
Ok, a gdje je ovdje QM??
QM istrazuje cestice, elektrone, fotone. A njihovo kretanje su oscilacije: gore-dolje, pa kroz vrijeme- dobijete sinusnu krivulju. QM opisuje tzv. vektorski prostor, a u tom prostoru sve se krece po krivulji talasa. I zato je Eulerova formula
srce kvantne mehanike. Ako je razumijete i usvojite kao sto ste usvojili da cokoladna tabla ima 100 grama (a ne 12 kg), onda za vas nema vise prepreka u proucavanju QM.
Jugonostalgija 